eigenstory

일정한 힘이 가해지는 마찰구간?

eigenstory — Sun, 24 Aug 2025 21:28:11 +0900

문세 설명

<문제>

9. 그림 (가)와 같이 수평면에서 물체 A 는 4v 의 속력으로 운동하다가 마찰 구간을 지나 등속도 운동하고, 물체 B 는 v 의 속력으로 A 를 향해 운동한다. 그림 (나)와 같이 A 와 B 가 충돌한 후, A 는 충돌 전과 반대 방향으로 v 의 속력으로 운동하다가 마찰 구간에서 정지하고, B 는 충돌 전과 반대 방향으로 v 의 속력으로 운동한다. 마찰 구간에서 A 는 운동 방향과 반대 방향으로 같은 크기의 일정한 힘을 받고, 마찰 구간에서 A 가 운동하는 데 걸린 시간은 (가)에서가 (나)에서의 2배이다. A, B 의 질량을 각각 m_A , m_B 라 할 때, m_A/m_B 는?

[풀이]

이번 문제에서 사용된 독특한 표현이 있다. "마찰 구간에서 운동 방향과 반대 방향으로 같은 크기의 일정한 힘을 받는다."

이 표현은 수험생을 함정에 빠트리기 위한 트릭이 사용되었다. 그냥 언덕이라고 하면 될텐데 굳이 마찰구간이란 단어를 선택함으로써 혼란을 유도한 것이다. 물체가 언덕을 올라가는 동안 일정한 크기의 힘을 받는다. F = ma 를 기억하자. 초기 속도와 매 순간 가속도를 알면 우리는 물체의 운동을 매 순간 예측할 수 있다. 그곳이 마찰 구간이든 언덕이든 F = ma는 구분하지 않는다.

다음 그림을 보자.

첫 번째 마찰 구간은 다음과 같이 표현할 수 있다.

초기 속도 = 4v

소요 시간 = 2T

가속도 = -a

한편 두 번째 마찰 구간은 다음과 같다.

초기 속도 = v

소요 시간 = T

가속도 = -a

[무차원화] 이제는 무차원화를 결정해야 한다. 이 문제에서 질량이든 초기 속도든 시간이든 뭐든 절대 량으로 주어진 것은 하나도 없다. 따라서 일부 값들을 임의의 편리한 값으로 정하고 시작하는 것이 여러 모로 좋을 것이다. 다음은 무차원화 적용 결과이다.

첫 번째 마찰 구간: 초기 속도 = 4m/s, 소요 시간 = 2초, 가속도 = -1m/s^2

두 번째 마찰 구간: 초기 속도 = 1m/s, 소요 시간 = 1초, 가속도 = -1m/s^2

다음으로 등가속도 운동의 1,3,5,7 규칙을 살펴 보자.

[등가속도 운동의 규칙성] 등가속도 운동은 시시각각 매우 복잡할 것 같지만, 사실 굉장한 일관성을 가지고 있다. 그것은 1,3,5,7,9의 법칙이라고 부르면 좋을 것이다. 잘 기억하자. 모든 등가속도 운동은 멈췄다가 일정 시간 t 만큼 움직인 거리와 움직인 거리가 L이라면 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 3L, 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 5L, 그리고 그 다음 시간동안 움직인 거리는 7L이 된다. 물론 그 다음 다음 다음은 9, 11, 13... 이렇게 된다.

그림에서 가로축은 시간, 세로축은 속도이다. 등가속도 운동이니 속도가 시간에 비례해서 직선의 형태로 증가하고 있다. 각 그림에서 빨간 선들은 간격이 동일하다. 즉 등가속도 운동을 동일한 시간 t 간격으로 잘라서 본 것이다. 빨간 선으로 잘리는 파란 도형의 면적은 이동 거리이다.

좌측 그림은 t가 좀 크다. 그런데 첫 번째 구간의 이동 거리(=면적)은 삼각형 1개. 두 번째 구간의 이동거리(=면적)은 삼각형 3개... 1,3,5,7 규칙을 잘 따르고 있는 것을 알 수 있다.

가운데 그림은 t가 좀 작아졌다. 하지만 삼각형 1개, 3개, 5개의 규칙은 여전히 만족한다.

오른쪽 그림은 삼각형이 찌그러졌다. 눈치 챘겠지만 그림에서 삼각형의 기울기는 가속도의 크기를 나타낸다. 이렇게 가속도가 달라졌지만 첫 번째 구간의 이동 거리는 삼각형 하나, 두 번째 구간의 이동 거리는 삼각형 3개, 5개, 7개... 의 1,3,5,7 규칙이 아주 잘 지켜지고 있는 것을 알 수 있다.

이제는 등가속도 운동의 1,3,5,7 규칙과 이 문제를 연관시켜 보도록 하자.

그림은 시간/속도 그래프이다. 가로 세로축 단위가 각각 1이므로 가속도는 -1이 된다.

물체 A가 처음 언덕을 올라가는 구간의 초기 속도가 4, 시간이 2초니까 , 그림에서 "2 sec." 구간의 면적을 통해 이동 거리가 6m임을 바로 확인할 수 있다.

물체 A가 두번 째 언덕에서 이동한 거리는 그림의 "1 sec." 구간 면적을 읽으면 0.5m임이 바로 확인된다.

다만 이동 거리는 사실 답을 찾는 데 도움은 안된다.

답을 찾기 위해서는 "2 sec." 구간의 종료 시점에서 A의 속도가 2m/s 라는 사실이다. 즉 A는 언덕을 오르자 마자 B와 충돌하기 직전에 속도가 2v 였는데, 충돌 직후 -v가 되었다고 했다. 즉, 우리는 A 와 B가 충돌하기 전 속도와 충돌 직후의 속도를 모두 알게 되었다.

운동량 보존의 법칙을 적용해 보자.

충돌전 total 운동량 = 2m_A - m_B

충돌 후 total 운동량 = -m_A + m_B

계산 하면,

2m_A - m_B = -m_A + m_B

3m_A = 2m_B

m_A / m_B = 2/3

따라서 답은 2번이다.

선택지

[해설]

[출처: 2026년 5월 모평/모의고사 고3 물리1 9번]

영어 블로그를 시작했습니다.

eigenstory — Fri, 22 Aug 2025 22:46:12 +0900

여기 먼저 한글로 올리고.

같은 내용을 영문으로 번역해서 아래 블로그에 올리고 있습니다.

https://pcpkorea.tistory.com/

pcpkorea

A fun little blog where I play around with Korean high school physics exams from a fresh angle.

pcpkorea.tistory.com

물리 문제 및 풀이를 영어로 접해보고 싶으신 분들은 방문해 보시기 바랍니다.

피자 모양 렌즈에서의 굴절 실험

eigenstory — Tue, 19 Aug 2025 09:18:35 +0900

2026년 5월 모평 물리1 15번

렌즈의 모양

실험

<문제>
(가) 그림과 같이 동일한 반지름의 사분원형 매질 A, B를 수평면에 놓고, 단색광을 A 또는 B에 입사시킨다.
(나) 단색광이 A 또는 B에 입사되는 지점의 높이를 변화시키며, 단색광이 굴절 또는 전반사하는지를 확인하였다.
아래 실험 결과를 바탕으로 <보기>에서 옳은 것을 전부 골라라.

실험 결과

[풀이]
우선 문제 풀이에 앞서, 기하 광학 문제를 풀 때 활용할 수 있는 광선 역행의 원리를 소개하고 싶다.

[광선 역행의 원리] 광선역행의 원리라는 것이 있다. 내용은 간단하다. 주어진 광학계에서 빛이 하나의 경로를 지나갔다면, 그 경로에 대해 반대의 방향으로도 똑같은 경로로 빛이 진행한다. 즉 아래 문제에서 주어진 그림처럼 단색광이 파란색 경로를 통해 좌-->우 방향으로 진행했다면, 오른쪽 그림처럼 빨간 색 경로를 통해 진입한 빛은 동일한 경로를 반대 방향으로 진행한다는 법칙이다.

이제 각 조건들의 진위 여부를 하나씩 따져 보도록 하자.

우선 (ㄱ) 은 참이다.
위 그림의 빨간 경로를 보면 빛이 공기에서 렌즈 A로 진입하면서 매질 A쪽으로 꺾였다. 이는 소한 매질에서 밀한 매질로 진입할 때 파동의 일반적인 특징이다. 또한 밀한 매질로 진입하면 파장이 짧아진다. 다음 그림은 소한 매질에서 밀한 매질로 빛이 진입할 때 진행 방향이 꺾이는 이유를 설명한다.

미끄러운 도로에서 잔디밭으로 진입하는 차량이 꺾이는 모습

빛이 가벼운 매질(소한 매질이라고도 하며, 여기서 빛은 빠르다)에서 빡빡한 매질(밀한 매질, 여기서 빛은 느리다)로 진입하는 상황을 다음 그림에 비유해 볼 수 있다. 자동차가 대충 (x, y = 1, 1) 방향에서 (x, y = 0, 0)으로 진입했다. 매끈한 시멘트 바닥에서 잔디밭으로 진입하다 보니 차량의 오른쪽 바퀴가 잔디를 먼저 밟았다. 왼쪽 바퀴는 여전히 매끄러운 바닥을 밟고 있다. 경계를 지나는 잠시동안 차량의 좌우측 바퀴에 전달되는 마찰이 서로 다르고, 이에 따라 차량은 우측으로 살짝 휘게 되었다. 이 때 잔디가 울창할 수록 더 휠 것이다.

다음으로 조건 (ㄴ)을 보자.

문제를 풀기 위해서는 렌즈 A와 렌즈 B 중 어느 것이 더 빡빡한 지(굴절율이 큰 지)를 판단해야 한다.

공기에서 렌즈로 빛이 입사할 때 빛의 진행 방향이 휘는 정도는 굴절률에 비례한다. 따라서 렌즈 A가 렌즈 B보다 굴절율이 크다.
따라서 조건 (ㄴ)은 참이다.

마지막으로 조건 (ㄷ)를 보자.

실험 결과

6cm 라는 조건은 렌즈 A와 렌즈 B에 대해 빛이 좌에서 우로 진입하는 각도가 동일하다는 말이다. 따라서 우리가 판정해야 하는 것은, 빛이 렌즈와 공기 사이의 경계를 동일한 각도로 진입했는데, B에서는 전반사를 했더라. 그럼 A에서도 전반사를 할것으로 예상할 수 있는가? 여기에 답을 해야 한다. 다음 그림을 보자.

파란 경로의 빛이 렌즈를 지나 공기로 나가고 있다. 그런데 A가 경계면을 뜷기 힘들어 보니나? B가 경계면을 뚫기 힘들어 보이나? A가 더 힘들어 보인다. (*여기서 힘들다 라는 표현을 과학적으로 써 보면 - "A의 굴절률이 더 크므로, 빛이 경계를 벗어나기 어려워 전반사가 더 쉽게 발생할 수 있다" 정도가 될 수 있겠다. 다만 우리는 물리 문제를 직관적으로 빨리 푸는 것을 추구하므로, 이런 상황에서는 힘들다 쉽다를 직관적으로 판단할 수 있는 능력이 더 필요하다.) 따라서 같은 각도로 진입했을 때 B가 경계를 뚫지 못하고 전반사 했다면 A에서는 당연히 전반사가 되었을 것이다. 따라서 (ㄷ)은 참이다.

(ㄱ), (ㄴ), (ㄷ) 모두 참참참이므로 답은 5번이다.

[에필로그] 지금까지 3개의 광학 문제를 풀었는데, 공교롭게도 모두 잔디밭으로 진입하는 자동차의 비유와 광선 역행의 원리로 풀렸다. 과연 다른 유형의 문제가 나올 수 있을 지 의심이 들기 시작한다.

[출처: 2026년 5월 모평/모의고사 고3 물리1 15번]

물리 20번을 눈으로 풀어보자

eigenstory — Sun, 17 Aug 2025 21:54:03 +0900

2026년 6월 고3 물리 20번

<문제> 그림과 같이 높이가 h₁인 평면에서 질량이 각각 3m, 2m인 물체 A, B 로 용수철 P를 원래 길이에서 d 만큼 압축시킨 후 가만히 놓는다. A는 마찰 구간 I 을 지나 수평면에서 용수철 Q를 원래 길이에서 최대 d 만큼 압축시킨다. B는 P와 분리된 직후의 속력이 v₀ 이고 마찰 구간 II 를 지나 높이가 h₂ 인 평면에서 v₀ 의 속력으로 운동한다. I, II 를 한 번 지날 때 각각 손실되는 A, B의 역학적 에너지는 P와 분리된 직후 A의 운동 에너지와 같고, P와 Q의 용수철 상수는 같다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 물체는 동일 연직면상에서 운동하고, 용수철의 질량과 물체의 크기, 공기 저항, 마찰 구간 외의 모든 마찰은 무시한다.)

<선택지>
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ,ㄷ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[풀이]
이 문제는 킬러처럼 생겼지만 킬러 문항은 아니고 초기 조건을 이용해서 순차적으로 풀어나갈 수 있는 문제이다.
그런데 t₀에서 일어나는 일을 정확히 해석하는 것이 약간 까다롭다. 멈춰 있던 질량이 서로 다른 두 물체를 가운데 끼어 있던 용수철이 밀어내는 상황이다. 이 상황을 어떻게 해석할 것인가?
[정령] 용수철이 좀 따끔거리고 뾰족한 물체긴 해도 이 문제에서는 보이지 않고 만져지지도 않는 정령이라고 생각하자. 그래야 생각이 편하다. 이 정령이 A와 B 를 중간에서 민다. 정령은 질량이 없다. 다만 힘만이 존재한다. 밖에서 이를 관측하는 사람 입장에서는 A가 B 를 밀고 B 가 A를 미는 상황이다. 텅 빈 우주 공간에서 우주인이 거대한 금속 물체를 밀어내고 있다. 금속 물체는 한 눈으로 보기에도 우주인보다 압도적으로 무겁다. 따라서 밀려나는 것은 우주인일 것이다. 만약 우주인이 금속 물체와 똑같은 무게라면 양쪽이 똑같은 속도로 밀려날 테지만... 여기까지는 직관의 영역이다. 이러한 상황을 어떻게 하면 정량화할 수 있을까? 이게 이 문제를 풀 수 있느냐 없느냐의 갈림길이다.

우주선을 밀어내는 우주비행사 [GPT 생성]

[정량] 운동량의 보존으로 풀어도 되고 작용 반작용으로 풀어도 될 것 같다. 나는 언제나 F = ma 를 선호하므로 작용 반작용으로 풀어 보겠다. 작용 반작용을 적용해 보자. 상상력이 좀 필요하다. 우선, 오직 용수철이 A/B 양쪽에 동시에 닿아 있는 동안 A 는 B 를 밀 수 있고, B 도 A를 밀 수 있다. 용수철이 A/B 에 동시에 닿아 있는 모든 순간에 A 가 B 를 미는 힘과 B 가 A 를 미는 힘은 동일하다. 그리고 그 힘에 의해 발생하는 가속도의 비율은 질량에 반비례하므로 모든 순간 작용 반작용력에 의해 A 에 가해지는 가속도와 B 에 가해지는 가속도의 비는 2:3 이 된다. 모든 순간의 가속도 비가 2:3 이면 모든 순간의 속도 비도 2:3 이 되고 모든 순간의 변위 또한 2:3 이 될 것인데 사실 변위 비는 문제 풀이에 별로 중요하지 않다. 여기서 줏어갈 결론은 다음과 같다.
v_A : v_B = 2 : 3 --> 초기 용수철에 의해 A와 B가 밀려나가는 순간 각각의 속도

[무차원화] 이제는 무차원화를 결정해야 한다. 이 문제에서 질량이든 초기 속도든 높이든 뭐든 절대 량으로 주어진 것은 하나도 없다. 따라서 일부 값들을 임의의 편리한 값으로 정하고 시작하는 것이 여러 모로 좋을 것이다.

일단 두 물체의 초기 속도를 다음과 같이 정하자.
v_A = 2m/s
v_B = 3m/s

그리고 질량은 3:2로 주어졌으니 각각 다음과 같이 정하는 게 좋겠다. 3kg, 2kg 대신 30kg, 20kg 으로 했는 지는 나중에 설명하겠다.
m_A = 30kg
m_B = 20kg

이제 최초의 운동 에너지를 정할 차례다.
E_A0 = 0.5 x 30 × 4 = 60J
E_B0 = 0.5 x 20 × 9 = 90J
E₀ = E_A0 + E_B0 = 150J

물체 A 는 비탈을 내려와 용수철을 d 만큼 수축시킨 뒤 멈췄다. 멈춘 순간 물체 A가 갖고 있던 모든 운동 에너지는 용수철에 축적되었다. 문제에 등장하는 모든 용수철은 동일하다고 했다. 다시 최초의 빅뱅(?) 시점으로 가보자. 두 물체 A, B는 멈춰 있었고 모든 에너지는 용수철에 축적되어 있었다. 그게 A 와 B 의 운동 에너지로 무손실 변환되어 토탈 150J 이었다. 그렇다면 A 가 언덕을 내려와 언덕 아래 용수철에 축적한 에너지도 150J 이 되어야 한다. 같은 용수철을 똑같이 d 만큼 수축시켰다면 그 속에 축적된 에너지는 같아야만 한다.

E_S = 150J

[단서-1] B 가 A 와 분리된 직후 속도가 v₀(=v_B = 3m/s) 였고, 마찰 구간을 지나 높이가 h₂인 평면에서 v₀(=v_B = 3m/s) 의 등속 운동을 한다...
B 는 최초 90J 의 운동 에너지를 갖고 있었는데, 언덕을 내려온 후에도 90J 의 운동 에너지를 갖고 있을 뿐이다. 즉 B 가 언덕을 내려오면서 소모한 위치에너지는 마찰 구간이 다 먹어버렸다고 봐야 한다.
[단서-2] 마찰 구간 I, II 를 지날 때 손실되는 역학적 에너지는 P 와 분리된 직후 A 의 운동에너지 (=E_A0 = 60J) 와 같다.
[마무리] 이제 지금껏 모은 모든 조각 지식들을 모아 보기 내용의 진위를 따질 시간이다.

먼저 (ㄱ)을 보자.
P 와 분리된 직후 A 의 속력은 2ms 인데, 이는 0.666 × (v_B = 3m/s) 와 같다. 참이다.

다음 (ㄴ)을 보자.
용수철 상수를 구해야 한다.

우리는 모든 위치에서 에너지를 구한 바 있다. 따라서 용수철 상수와 에너지의 관계식을 이용해야 한다.
용수철 상수 k 에 대해 용수철에 축적된 에너지는 다음 식으로 정의된다.
E_S = 0.5 kd²
A 가 언덕을 내려왔을 때 용수철에 축적된 에너지가 150J 이라고 했었다.
따라서,

2 E_S = k d²

300 / d² = k (=용수철 상수)
이제 10 × m × v₀² 이 300 인 지 확인하자.
10 × 10 × 9 = 900 ≠ 300
따라서 (ㄴ)은 참이 아니다.

앞서 m_A와 m_B를 3kg, 2kg 대신 30kg, 20kg 로 한 이유를 설명하지 않고 넘어갔는데.

만약 3kg, 2kg 로 했다면 위 수식에서 m 이 1 이 되었을 것이다. 따라서 수자만으로 m 의 영향이 있는 건지 없는 건지 판별하기 어려웠을 것이다. 보통은 무차원화를 통해 대부분의 비례 문제를 풀 수 있지만, 이번 문제처럼 수식을 판정해야 하는 경우, 상수화 당하는 각각의 변수가 서로 소일 경우 도움이 될 것임을 알 수 있다. 원래 속도에 2 와 3 이 있었는데, 질량에는 10 을 곱해서 인수 5 를 추가한 것이다. 이것 또한 요령인 것 같다.

마지막으로 (ㄷ)을 보자.
h₁과 h₂를 둘 다 구해야 한다.
아참, 중력 가속도를 1 로 하는 것을 깜빡 했다. 우리가 알아야 하는 것은 h₁과 h₂의 비율이지 h₁, h₂의 참값이 아니다. 따라서 중력 가속도를 1 로 두나 9.8 로 두나 결과는 같다.

A 의 여행을 따라가 보자. 최초 A 의 운동에너지는 60J 이었다. 마찰 구간을 지난 때 에너지 손실이 60J 이라고 했다. 그런데 지면에서 A 가 용수철을 만나기 직전 갖고 있던 모든 에너지가 용수철에 흡수되었다고 했는데 그 크기가 150J 이라고 했으니. 결국 이 150J 은 전부 h₁의 위치 에너지에서 온 것이다. 따라서...
m_A × g × h₁ = 30 × h₁ = 150J
h₁ = 5m
다음으로 B 의 여행을 따라가 보자.
B는 최초 90J 의 운동 에너지를 갖고 있었다. 그런데 나중에 h₂ 높이에서도 90J 의 운동 에너지를 갖고 있는 것으로 보인다. 따라서 h₁ - h₂ 만큼의 낙차를 가진 낙하 운동을 하는 동안 얻은 위치 에너지를 전부 마찰구간에 빼앗겼다는 의미이다. 따라서...
m_B × g × (h₁ - h₂) = 60J
20 × 1 × (5 - h₂) = 60
5 - h₂ = 3
h₂ = 2m

h₂ / h₁ = 2/5 이지 1/3 이 아니다. (ㄷ)도 거짓.
따라서 정답은 1번이다.

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 20번]

동일 거리 이동 시간 vs. 가속도 비례 관계

eigenstory — Sun, 17 Aug 2025 12:36:19 +0900

2026년 6월 고3 물리 16번

<문제>

그림과 같이 수평면에 놓인 질량이 M 인 수레 위에 추 A 와 B 중 하나를 올려놓고 다른 하나는 수레에 연결된 실에 매단다. 표는 출발선에 가만히 놓은 수레가 등가속도 직선 운동하여 기준선을 지날 때까지 걸린 시간 t 와 A의 역학적 에너지 변화량의 크기를 나타낸 것이다. A, B의 질량은 각각 m_A, m_B 이다. M/m_B 값은? (단, 실의 질량, 모든 마찰과 공기 저항은 무시한다.)

<선택지>

[풀이]

도르래와 연결된 여러개의 질량들의 등가속도 운동 관련 문제가 나오면 F = ma를 떠올려야 한다.

물제를 풀기에 앞서 간단한 사고 실험을 해 볼 것이다. 다만 물체와 실의 연결관계 등을 고려해 F 를 구성하는 게 뭐고 m 을 구성하는 게 뭔지를 센스 있게 정해야 한다. 연습 삼아 다음 그림을 보자.

위 그림에 F = ma 를 적용해 볼 것이다.

다만 그 전에 우리의 직관을 시험하자. 왼쪽 그림에서 2kg 짜리 수레에 97kg 짜리 세탁기가 올라가 있는 것이 보이는가? 아주 튼튼하지만 질량이 0인 실이 도르레를 거쳐 1kg 짜리 우유팩에 연결되어 있다. 오른쪽 그림은 우유팩과 세탁기의 위치가 바뀐 것이 보인다. 어느 쪽이든 수레는 출발선을 지나 기준선까지 이동할 것이 명확하고, 또하나 이동하는 속도는 오른쪽이 훨씬 빠를 것 같지 않은가? 훌륭한 직관이다. 다만 이걸로 문제를 해결하게에는 2%가 부족하다.

다음 그림을 보자.

앞서 도르래, 끈 등등이 연결된 그림보다 훨씬 단순한 것을 느끼나? 다만 가운데 놓여 있는 물체 B(우유 또는 세탁기)의 수평 방향 운동에 있어서 앞서의 도르래 및 끈이 연결된 그림과 지금의 새 그림을 비교해 보라. 새 그림이 훨씬 단순하다는 것을 느낄 수 있다. 이제 마음에 드는가? 여기에 F = ma를 적용해 보겠다.

[왼쪽그림]

F = 10N

m = (97+2+1) = 100kg

a = 0.1m/s²

[오른쪽그림]

F = 970N

m = 100kg

a = 9.7m/s²

결과적으로 우리는 직관에 물리학을 더해 주어진 시스템의 움직임을 정량적으로 예측할 수 있게 되었다. 또 한 가지, 세탁기와 우유팩을 바꿔 달면서 실험을 했더니 양쪽 등가속도 운동의 가속도가 도르레 옆에 달리는 물체의 질량에 비례한다는 것도 덤으로 알게 되었다. 이 사실은 나중에 문제 풀이에 활용될 것이다. 그리고 또 하나, 매번 이런 식으로 그림을 다시 그리는 것은 수험생 처지에서 바람직하지 않다. 시험 문제를 시간 내 풀기 위해서는 다음 그림을 보고 F = ma 를 바로 만드는 연습을 해야 할 것이다.

이제 연습은 끝났다. 문제를 풀어 보자.

표에서 t 항목을 보니, 출발선에서 수평선 사이의 거리를 등가속도 운동으로 이동하는 동안 B를 매달았을 때와 A를 매달았을 때의 시간 비율이 1:3 이었다고 한다. 아래 그림은 두 개의 등가속도 운동이 같은 거리를 이동하는 데 시간을 1:3 으로 사용한 경우의 시간, 속도 그래프이다.

같은 거리를 이동했으므로 두 삼각형의 면적은 같다.

시간의 비율이 1:3 이므로 삼각형의 밑면 길이 비가 1:3 이다.

다만 가로축 길이가 3배가 되면서도 동일 면적을 유지해야 하니 높이 또한 1/3이 된 것에 주목하자.

빠른 운동은 t₀ 만큼의 시간이 걸렸고 가속도가 1/1 해서 1.

느린 운동은 3 t₀ 만큼의 시간이 걸렸고 가속도는 0.333/3 해서 1/9 이다.

앞서 이 시스템에서 가속도의 비는 실에 매단 추의 질량 비와 일치한다고 했으므로 m_A와 m_B의 비율은 9:1 또는 1:9 일텐데. 표를 보아 B가 더 무거운 것이 확실하므로 m_A:m_B = 1:9 임을 알 수 있다.

이쯤에서 슬슬 문제를 하나씩 풀어 보자. 계산을 통해 구해야 하는 값은 M/m_B 값이다.

순간 짜증이 밀려오기 시작한다. 또 비율이라니...

그런데, 이 말은 즉 주어진 조건을 만족하는 답이 하나가 아니고 여러개인데 답이 여러개라 해도 M/m_B의 비율은 항상 같다는 말로 해석 가능하다. 어? 이거 고마운 건가?

그렇다. 이 문제에 한해 우리는 m_A와 m_B를 그냥 1kg, 9kg 으로 두고 풀어도 된다.

또하나, 문제에서 출발선과 기준선 사이의 거리에 대한 언급이 없다. 이 말을 뒤집으면 출발선과 기준선 사이의 거리가 변해도 주어진 조건을 만족한다면 B와 수레의 질량비는 일정할 것이라는 뜻이 된다. 나는 1을 좋아하니까 출발선~기준선 사이의 거리도 1m로 정하고 풀이를 진행하겠다. 마지막으로 중력 가속도 또한 내친 김에 1m/s²으로 하자. 고전역학 문제에서 특이 이번 문제처럼 질량을 질량으로 나눈 값(단위 또는 dimension이 없는 값)을 구하는 문제에 있어서 주요 변수의 무차원화는 풀이 과정을 단순화 하는 효과가 있다. 무차원화를 덜하는 것은 무해하다. 다만 계산 식에 변수가 많아 풀이 과정에 손이 많이 가는 문제가 있다. 무차원화를 과도하게 하는 것은 위험하다. 답이 사라질 수 있다. 문제를 잘 보고 어떤 것을 무차원화할 수 있고 어떤 것은 하면 안되는 지 잘 판단하는 스킬을 익힐 필요가 있다.

이제 [실험-1]에서 A의 역학적 에너지 변화량을 고찰해 보자. A는 정지했다가 등가속도 운동을 해서 1m를 이동하며, 수평 운동을 하므로 위치 에너지 변화 없이 운동 에너지만 증가한다. 따라서 A의 최종 운동 에너지가 A의 역학적 에너지 변화량과 같다. A의 최종 운동에너지를 구해 보자.

최종 운동에너지 = A가 받은 힘 × 이동 거리

A가 받은 힘 = A의 가속도 × 1kg

A의 가속도 = A,B,C 전체 계의 가속도

F = m_{B ×}g = 9 = ma = (1+9+M) × A의 가속도

최종 운동 에너지 = 9/(M+10)

A의 역학적 에너지 변화량(실험1) = 9/(M+10)

[실험-2]는 조금 복잡하다. 여기서 A는 추의 역할을 한다. A의 위치에너지가 감소하는 에너지로 A, B 및 수레가 가속된다. A의 위치 에너지 감소량을 A, B, 수레가 질량 비에 따라 운동에너지로 나눠 먹는 구조다. 따라서 A의 역학적 에너지 변화량은 다음과 같다.

A의 역학적 에너지 변화량 = A의 위치에너지 감소량 - A의 최종 운동에너지

A의 역학적 에너지 변화량(실험2) = 1 × 1 × 1 - 1/(M+10) = 1 - 1/(M+10) = (M+9)/(M+10)

(운동에너지는 질량이 같다면 속도의 제곱에 비례. 앞서 실험 1의 최종 속도가 실험2의 최종 속도보다 3배 빠르다고 했다.)

이제 문제의 마지막 조건인 실험간 A의 역학적 에너지 변화량 비 9:11을 적용할 차례이다.

9:11 = 9/(M+10) : (M+9)/(M+10)

9:11 = 9:M+9

99 = 9M+81

9M = 18

M=2

M/m_B = 2/9

따라서 답은 2번이다.

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 16번]

주기 0.75Hz 파동의 움직임 해석

eigenstory — Sun, 17 Aug 2025 10:37:08 +0900

2026년 6월 고3 물리 10번

<문제>

그림은 진동수가 0.75Hz이고 +x 방향으로 진행하는 파동의 변위를 위치 x에 따라 나타낸 것이다. 실선과 점선은 각각 시간 t=0, t=t₀ 일 때 파동의 모습이다. t=0에서 파동의 변위는 t=0 이후 t=t₀일 때 처음으로 2m가 된다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<선택지>

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,ㄴ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[풀이]

이 문제는 파동의 움직임을 상상할 수 있으면 생각보다 쉽게 해결할 수 있다. 그런데 파동의 움직임을 상상하는 것은 생각보다 어렵다. 연습이 필요한데, 연습에는 욕실의 오리 인형을 생각하면 도움이 된다.

욕조에 오리인형이 떠 있고 물결이 친다. 이 오리 인형은 마법의 오리 인형이라 물결에 따라 위아래로 움직이지만, 옆으로는 절대 미끌어지지 않는다고 한다. 이 오리 인형이 위아래로 움직이는 것을 기준으로 물결파의 주기를 정할 수 있다. 문제에서 진동수가 0.75Hz로 주어졌으니 오리 인형은 1초에 0.75번 오르락 내리락 할 것이다. 0.333초에 1/4번, 0.666초에 2/4번, 1초에 3/4번, 1.333초에 1번... 이렇다. 즉 오리 인형의 진동이 한 주기를 타는 데 걸리는 시간은 1.3333초가 된다.

이제 파동의 움직임을 상상해 보자.

위 흑백 그림을 보면 마치 파동이 왼쪽으로 이동한 것 같아 보이는데, 초록 색 그래프의 움직임과 각 순간 t값의 변화를 잘 보면 파동은 오른쪽으로 움직이고 있는 것이 분명하다. 이제 파동의 움직임이 눈에 익었다면 문제를 해결해 보자.

조건 (ㄱ)

아래 애니메이션에서 0.333초동안 1미터를 이동하는 것이 확인된다. 그럼 1초동안에는 3m를 가게 되니 진행 속도는 3m/s가 맞다.

다음 조건 (ㄴ)

이것도 맞다. 1초동안 파장의 3/4만큼이 우측으로 슬라이딩 한다. 파장은 4m 이므로 3m를 우측으로 미끌어지면 주황색 점선 그래프와 만난다.

마지막으로 조건 (ㄷ)

쉽게 생각해서 t=0 에서 1로 되는 동안 그래프가 왼쪽으로 1m 이동했으니 t=0에서 t=2로 된다면 그래프는 왼쪽으로 2m이동할 것이라고 생각해도 무방하다. 사실은 오늘쪽으로 3칸 가고 오른쪽으로 3칸 더 가는 건데. 그게 결국은 돌아 돌아 왼쪽으로 1칸 그리고 왼쪽으로 한칸 더 가게 되는 것과 같아진다. 파동은 반복하므로.

그래서 위 애니메이션에서 t=0.666일 때의 그래프를 눈 크게 뜨고 보면 x=3에서의 변위는 2이다. ㄷ은 맞다.

따라서 답은 5번이 된다.

[에필로그]

파동 문제는 주어진 조건을 이용해서 파동의 움직임을 머리속으로 애니메이션 할 수 있는 능력이 필요하다. 유형 별로 수식을 암기할 수도 있겠지만, 경우의 수가 너무 많아서 약간의 조건만 달라 져도 틀린 답을 내게 되고 흥미를 잃게 될 우려가 있다. 연습 말고는 다른 방법은 없는 것 같다.

[Python 코드]

# Wave shift animation with pause segments and optional GIF saving or live display.
# Smooth loop across one full period (T = 1/f). No duplicated first/last frame to prevent flicker.
# Pauses at t = 1/3 T and 2/3 T, then continuous to T, and loops back to 0 seamlessly.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter

# ===== User options =====
OUTPUT_MODE = "gif"                 # "gif" or "show"
GIF_PATH = "wave_slide_to_right.gif"     # path to save GIF when OUTPUT_MODE == "gif"
FPS = 30                            # frames per second
PAUSE_FRAMES = 15                   # pause duration at t=1/3 T and t=2/3 T (frames)
END_REPEAT_DELAY_MS = 0             # used only for live display (show mode)

# ===== Wave parameters =====
A = 2.0               # amplitude [m]
f = 0.75              # frequency [Hz]
lam = 4.0             # wavelength [m]  (so in 1 s, shift = 0.75*λ to +x)
omega = 2*np.pi*f     # angular frequency
k = 2*np.pi/lam       # wave number
phi = 0.0             # initial phase at t=0
T = 1.0 / f           # period = 4/3 s

# Spatial axis (0~8 m like the figure)
x = np.linspace(0, 8, 1000)

# Reference curves for t=0 (solid light) and t=T (same shape as t=0)
y_t0 = A * np.sin(k*x - omega*0 + phi)
y_tT = A * np.sin(k*x - omega*1 + phi)

# ===== Build timeline with pauses at t=1/3 T and t=2/3 T =====
# Important for smooth loop: DO NOT include the final frame at t=T, and do not pause there.
segments = [(0.0, T/4.0), (T/4.0, 2.0*T/4.0), (2.0*T/4.0, 3.0*T/4.0), (3.0*T/4.0, 4.0*T/4.0)]
frames_per_segment = int(FPS * (T/3.0))  # equal frames per segment across one period

t_values = []
for (t_start, t_end) in segments:
    # frames inside the segment, excluding endpoint to avoid duplicate at boundaries
    seg_ts = np.linspace(t_start, t_end, frames_per_segment, endpoint=False)
    t_values.extend(seg_ts.tolist())
    # add a pause at internal breakpoints only (not at the very end t=T)
    if t_end <= T:  # internal boundary
        t_values.extend([t_end] * PAUSE_FRAMES)

# ===== Set up the figure =====
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.2), dpi=150)
ax.set_xlim(0, 8)
ax.set_ylim(-2.4, 2.4)
ax.set_xlabel("x (m)")
ax.set_ylabel("Amplitude (m)")

# Static references
ax.plot(x, y_t0, linewidth=1.0, alpha=0.4, label="t=0")
ax.plot(x, y_tT, linestyle="--", linewidth=1.0, alpha=0.8, label="t=1")

# Animated line
line, = ax.plot(x, y_t0, linewidth=2.0, label="Sliding Wave")
# show time modulo T to make the loop feel natural
title = ax.set_title("Sliding Wave: t = 0.000 s")
ax.legend(loc="upper right")


def update(frame_index):
    t = t_values[frame_index]
    y = A * np.sin(k*x - omega*t + phi)
    line.set_data(x, y)
    t_mod = (t % T)
    title.set_text(f"Sliding Wave: t = {t_mod:0.3f} s")
    return line, title

ani = FuncAnimation(
    fig,
    update,
    frames=len(t_values),
    interval=1000/FPS,
    blit=False,
    repeat=True,
    repeat_delay=END_REPEAT_DELAY_MS  # used for live display only
)

# ===== Output selection =====
if OUTPUT_MODE.lower() == "gif":
    # Save GIF via PillowWriter (GIF will loop; we avoided duplicate end/start frames)
    writer = PillowWriter(fps=FPS)
    ani.save(GIF_PATH, writer=writer)
    print(f"Saved: {GIF_PATH}")
elif OUTPUT_MODE.lower() == "show":
    plt.show()
else:
    raise ValueError("Unknown OUTPUT_MODE. Use 'gif' or 'show'.")

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 10번]

작도법을 이용한 임계각 범위 추정

eigenstory — Sun, 17 Aug 2025 07:24:58 +0900

2026 6월 고3 물리 13번

<문제>

그림과 같이 단색광 X가 매질 A에서 매질 B에 입사각 θ 로 입사한 후 매질 C와 A의 경계면에서 전반사한다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. X의 속력은 A에서가 B에서보다 크다.
ㄴ. 굴절률은 B가 C보다 크다.
ㄷ. C와 A 사이의 임계각은 θ 보다 크다.

<선택지>

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ,ㄷ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[풀이]

일단은 큰 그림을 보자. 중앙에 2 개의 삼각형이 등을 맞대고 있는데 마침 이 친구들이 정사각형을 반 자른 형태이다. 삼각형의 내각이 각각 90도, 45도, 45도이다. 전체적인 구조를 숙지했으니 이제 문제를 해결해 볼 차례다.

먼저 (ㄱ).

A/B 경계에서 빛이 굽은 모양으로 보아 (ㄱ)은 참이다. 마치 빛이 A에서 B로 진입하면서 방해를 받는 느낌이다. 빛이 가벼운 매질(소한 매질이라고도 하며, 여기서 빛은 빠르다)에서 빡빡한 매질(밀한 매질, 여기서 빛은 느리다)로 진입하는 상황을 다음 그림에 비유해 볼 수 있다. 자동차가 대충 (x, y = 1, 1) 방향에서 (x, y = 0, 0)으로 진입했다. 매끈한 시멘트 바닥에서 잔디밭으로 진입하다 보니 차량의 오른쪽 바퀴가 잔디를 먼저 밟았다. 왼쪽 바퀴는 여전히 매끄러운 바닥을 밟고 있다. 경계를 지나는 잠시동안 차량의 좌우측 바퀴에 전달되는 마찰이 서로 다르고, 이에 따라 차량은 우측으로 살짝 휘게 되었다. 이 때 잔디가 울창할 수록 더 휠 것이다.

잡담은 이정도로 하고, 다시 문제를 풀자.

조건 (ㄴ)을 보자.

두 개의 삼각형 중 누가 더 빡센가를 비교하라고 한다. 이 조건을 확인하기 위해서는 약간의 상상력이 필요하다. 다음 그림을 보자.

우선 X의 최초 경로는 A, B를 지난 뒤, C와 A의 경계면을 45도로 입사했는데, 경계를 뚫지 못하고 전반사로 튕겨나왔다. 경계를 뚫으려면 입사 각도는 경계변에 대해 더 뾰족해져야 할 것이다. 그런데 아직 충분히 뾰족하지 않았나보다. 빛은 경계를 타고 흐를 뿐, 매질 A로 진입하지는 못했다. 조금만 더 뾰족해지면 경계면을 뚫고 나갈텐데... 결국 파란 빛이 해냈다. 조금 더 각을 뾰족하게 했더니 경계를 아슬하슬하게 뚫고 나갈 수 있었다.

이제 광학계의 대칭성에 대한 이야기를 해야겠다. 빛과 관련한 물리 법칙들은 방향이 뒤집어져도 참이다. 즉, 동일한 광학계에서 빛이 하나의 경로를 지나갔다면, 그 경로에 대해 반대의 방향으로도 똑같은 경로로 빛이 진행한다. 광학 문제 풀 때 이 원리는 두고 두고 유용한데, 이러한 현상을 기하광학에서 광선역행의 원리라고 부른다.

다음 그림은 앞서 그림에 광선역행의 원리를 적용한 결과이다.

파란 빛이 A에서 C로 진입하는 경로에서 파란 빛의 진입 각은 오른쪽 삼각형의 빗면을 핥듯이 지나가는 각도인데, 그림을 보면 A에서 C로 뚫고 들어오는 파란 빛이 경계면에 대해 45도보다 더 많이 휘어 있는 것을 확인하자. 다시 말해 A에서 C로 진입하는 모든 각도에 대해 빛은 45도보다 더 많이 휜다고 생각할 수 있다. 한편 검은 경로 X의 경우 A에서 B로 진입했는데 그 휜 각도가 경계면에 대해 45도였다. 따라서 A-->B 보다 A-->C가 더 많이 휜다고 판단할 수 있으므로 굴절률은 C>B 가 되어 조건 (ㄴ)은 거짓이다.

마지막으로 조건 (ㄷ)을 살펴보자.

이건 마지막 그림을 잘 살펴보면 순간적으로 확인이 가능하다.

그림에서 임계각은 명백히 45도보다 작고, θ는 45도보다 크다. 따라서 조건 (ㄷ)은 거짓이다.

결론적으로 정답은 1번이다.

[참고] 임계각의 정의

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 13번]

물리 20번 사칙연산으로 도전하기

eigenstory — Sat, 16 Aug 2025 11:50:47 +0900

2026 7월 고3 물리 20번

<문제>

그림과 같이 물체 A를 높이 4h인 지점에서 가만히 놓았더니 A가 마찰 구간 Ⅰ을 지나 높이 h인 평면에 정지해 있던 물체 B와 충돌한다. 충돌 후 A는 다시 Ⅰ을 지나 점 p에서, B는 마찰 구 간 Ⅱ를 지나 점 q에서 속력이 0이 된다. 수평면으로부터 높이는 q가 p의 2배이다. 충돌 직후 A, B의 운동 에너지는 각각 E, 3E이고, 충돌에 의해 손실되는 역학적 에너지는 없다. A가 Ⅰ을 한 번 지날 때 손실되는 역학적 에너지와 B가 Ⅱ를 지날 때 손실 되는 역학적 에너지는 E₀ 으로 같다. 질량은 B가 A의 3배이다.

E/E₀는? (단, 물체는 동일 연직면상에서 운동하고, 물체의 크기, 공기 저항, 마찰 구간 외의 모든 마찰은 무시한다.)

<선택지>

① 1/3 ② 11/21 ③ 4/7 ④ 7/9 ⑤ 21/23

[킬러 문항에 대한 고찰 - 문제 내용관 무관. Skip 가능]

이 문제는 딱 봐도 어렵다. 뭐랄까 앞의 문제들과는 확실히 다르다. 화가 난다.

화가 난 김에 잠시 나의 인생에 대해 이야기해야겠다. 다행히 부지런한 어머니, 아버지를 두었던 덕에 좋은 교육을 받을 수 있었고, 좋은 직장에 들어가 능력과 성품이 출중한 동료들 속에서 안락하게 지내왔다. 세상 일이 다 그렇듯이 직장 생활 또한 부득이 종종 사람들 사이에 갈등이 있기기 마련이다. 짧지 않은 조직 생활을 격으면서 한 가지 터득한 지혜는, 누군가 때문에 내 마음에 화가 날 때, 최선은 일단 그 사람과 말을 해보는 것이라는 것이다. 말을 해보면 대부분 그 사람이 내게 까칠하게 할 수밖에 없는 이유가 드러난다. 일단 원인을 알게 되면 운신의 범위가 늘어나게 된다. 공격이나 보복을 하든 합의점을 찾아 공동 대응을 하든, 일단 원인을 알고 나면 그렇지 않았을 때에 비해 나의 대처는 훨씬 합리적으로 이루어질 가능성이 높을 것이다. 최악은 아예 그 사람과의 소통을 끊어 버리는 행동인데, 결국 일은 파국으로 가게 되고 그 결과를 책임지는 것은 나 아니면 그사람이 되며, 그 가능성은 대략 50:50이 되는 편이다. 잡담이 길었다.

갑자기 이런 이야기라니. 앞서 킬러 문제의 내용이 화가 난다고 했었다. 화가 나면 깊이 생각하는 게 필요하다. 그래서 킬러 문제에 대해 깊이 생각해 보기로 했다. 우선 이런 문제 유형의 가장 큰 특이점은 초기 조건을 이용해 물체의 운동을 순차적으로 해석할 수 없다는 점이다. 대신 미래의 관측 결과를 조합해서 과거의 사건들을 역추적해 나가는 성격의 문제다. 마치 사건 현장의 작은 단서를 조합해서 범인을 특정하는 탐정이나 수사관의 활동과 유사하다.

초기 조건에 따라 물질계의 동작을 순차적으로 따라가는 일반적인 문제 풀이 활동이 대낮에 편의점의 좀도둑을 뒤따라가는 일선 경찰관의 업무와 같다면, 킬러 문제 풀이는 살인 현장에 등장해 미지의 범인을 특정해 나가는 강력계 수사관 또는 명탐정 코난의 활동과 같다고 생각된다. 그래서 어려운 것이다. 이제 한 번 덤벼 볼 마음은 생겼다.

좀 더 조사해 보니 이런 형태의 문제 접근 방식을 역문제(inverse problem)라고 부른다고 한다. Inverse Problem에 대한 보다 자세한 내용은 관련 위키피디아(https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem)를 참고하기 바란다.

[풀이]

이제부터 화를 가라 앉히고, 문제를 차분히 읽어 보자.

단계	설명	A의 총 에너지	B의 총 에너지
1	최초	4mgh	3mgh
2	에너지 변화	-E₀
3	충돌 직후	mgh + 0.5mv²	3mgh + 1.5mv²
4	에너지 변화	-E₀	-E₀
6	최고 높이 정지	mgx	*6mgx*

이 문제는 줄창 에너지의 증가, 감소, 교환에 대해서만 이야기 하고 있다. 위의 표는 에너지 관점에서 사건의 흐름을 따라가 본 것이다.

[단계 1] 최초에 물체 A, B는 멈춰 있었다. 따라서 이들이 가진 에너지는 위치 에너지가 전부다.

[단계 2] B가 h 높이에 멈춰 있었고, A가 달려왔는데 오는 동안 에너지를 E₀만큼 잃었다.

[단계 3] 그리고 A는 B에 충돌했는데, 충돌 전후 에너지가 보존되었다고 한다. 충돌 후 A와 B의 운동 에너지 비가 1:3이라 했다. A와 B의 질량 비가 1:3이므로 운동 에너지 비가 1:3이 되려면 둘 사이의 속도가 같아야 한다는 것을 알 수 있다 (v_A = v_B = v).

[단계 4] 이제는 A와 B가 각각 E₀만큼 에너지를 잃었다.

[단계 5] A와 B는 이후 최고 높이까지 올라가서 일시 정지하였는데, 일시 정지한 순간이 일치하는 지는 문제에서 주어지지 않았다. 다만 각자 임의의 순간에 최고점에서 멈췄는데, 이 때의 상황으로 우리는 A, B의 역학적 에너지 총량 비를 유추할 수 있을 뿐이다. 1:6으로.

아직은 문제를 풀기에 용이하지 않다. 또 화를 내볼까? 농담이다.

이제부터 또 한 번 상상의 나래를 펼칠 시간이다.

[변수를 상수로 대체?] 이 문제에서는 m, g, h를 각각 상수 1로 대체할 수 있다. 잘 보면 시스템에 초기 조건으로 주어지는 에너지의 총량이 m,g,h에 각각 정비례한다. 따라서 m,g,h = 2,2,2에 대해 푼 결과값 x는 m,g,h = 1,1,1에 대해 푼 결과 x 보다 2배가 될 것이다. 그래서 표를 다시 고쳐 보면 다음과 같이 된다.

단계	설명	A의 총 에너지	B의 총 에너지
1	최초	4	3
2	에너지 변화	-E₀
3	충돌 직후	*1 + E*	*3 + 3E*
4	에너지 변화	*-E₀*	*-E₀*
6	최고 높이 정지	x	6x

이제 좀 풀만한 방정식이 나왔다.

7 - E₀ = 4 + 4E --> 최초의 총 에너지에서 E₀를 빼면 충돌 직후 AB 에너지 총합과 같다.

1 + E - E₀ = x --> 충돌 직후 A에너지에서 E₀를 빼면 A가 최고 높이에서 정지했을 때의 위치 에너지와 같다.

3 + 3E - E₀ = 6x --> 충돌 직후 B에너지에서 E₀를 빼면 B가 최고 높이에서 정지했을 때의 위치 에너지와 같다.

6 + 6E - 6E₀ = 6x

3 + 3E - E₀ = 6x

3 + 3E = 5E₀

4 + 4E = (20/3) E₀

7 - E₀ = (20/3) E₀

E₀ = 21/23

E = 12/23

E/E₀ = 12/23 × 23/21 = 12/21 = 4/7

그래서 답은 3번이다.

[출처: 2026년 7월 모평/모의고사 고3 물리1 20번]

실이 끊어지는 불량 도르래

eigenstory — Sat, 16 Aug 2025 08:39:15 +0900

2026 7월 고3 물리 8번

<문제>

그림 (가)와 같이 질량이 m, 2m, M 인 물체 A, B, C 를 실로 연결하고 B 를 점 p에 가만히 놓았더니 A, B, C 는 등가속도 운동을 한다. 그림 (나)와 같이 (가)에서 B 가 점 q 를 지나는 순간 B 와 C 를 연결한 실이 끊어진 후, A 와 B 는 등가속도 운동을 하여 점 r 에서 B 의 속력은 0 이 된다. p, q, r 는 수평면상의 점이고, p와 q, q 와 r 사이의 거리는 각각 2L, 3L 이다. M은? (단, 물체의 크기, 실의 질량, 모든 마찰과 공기 저항은 무시한다.)
<선택지>

① 2m ② 3m ③ 4m ④ 5m ⑤ 6m

[풀이]

하나 이상의 질량이 끈으로 묶여 운동하는데 중간에 실이 끊어지는 문제다. 이런 문제는 F = ma 공식으로 대부분 풀 수 있다. 다만 물체와 실의 연결관계 등을 고려해 F를 구성하는 게 뭐고 m을 구성하는 게 뭔지를 센스 있게 정해야 한다. 연습 삼아 다음 그림을 보자.

위 그림에 F=ma 를 적용해 볼 것이다.

다만 그 전에 우리의 직관을 시험하자. 왼쪽, 오른쪽 두 개의 그림 모두 A 가 C 보다 무겁다. 따라서 직관적으로 A 는 낙하하고, C 는 상승할 것이다. 또하나 운동 속도 관련해서는 왠지 가벼운 우유가 매달려 있는 좌측의 시스템이, 무거운 세탁기가 물려 있는 오른쪽 시스템보다 운동 속도가 더 빠를 것 같다. 훌륭한 직관이다. 다만 이걸로 문제를 풀기에는 아직 부족한듯 하다. 다음 그림을 보자.

앞서 도르래, 끈 등등이 연결된 그림보다 훨씬 단순한 것을 느끼나? 다만 가운데 놓여 있는 물체 B(우유 또는 세탁기)의 수평 방향 운동에 있어서 앞서의 도르래 및 끈이 연결된 그림과 지금의 새 그림을 비교해 보라. 새 그림이 훨씬 단순하다는 것을 느낄 수 있다. 이제 그림을 조금 더 단순화 시켜 보겠다.

이제 마음에 드는가? 여기에 F = ma를 적용해 보겠다.

[왼쪽그림]

F = 1N

m = 2+1+1 = 4kg

a(우유) = 1 / 4 = 0.25 m/s²

[오른쪽 그림]

F = 1N

m = 2+97+1 = 100kg

a(세탁기) = 1 / 100 = 0.01m/s²

우유가 세탁기보다 훨씬 빨리 가속된다는 것을 우리는 직관으로 알았고, 정량적으로도 예측할 수 있다.

다만 매번 이런 식으로 그림을 다시 그리는 것은 수험생 처지에서 바람직하지 않다. 시험 문제를 시간 내 풀기 위해서는 다음 그림을 보고 F=ma 를 만드는 연습을 해야 할 것이다.

[왼쪽 그림의 F=ma] (2-1)g = (2+1+1)a_우유팩

[우측 그림의 F=ma] (2-1)g = (2+97+1)a_세탁기

이제 연습은 끝났다. 문제를 풀어 보자.

이제부터는 A, B, C 에 무슨 일이 일어났는 지 상상할 차례다.

(가) 그림은 초기 상태를 나타낸다. B 를 손으로 꼭 누른 상태에서 A, B, C 를 끈으로 연결하고 손을 놨다. A, B, C 는 끈으로 묶여 있으므로 모두 같은 순간 속력으로 슬슬슬 이동하기 시작할 것이다. 등가속도 운동을 할것이다 B 가 q 지점을 지나는 순간까지...

그리고 하나 더, B가 p에서 q로 갔다는 것은 M 이 m 보다 무겁다는 것을 시사한다.

그러다가 B가 q지점을 지나는 순간 B-C 사이의 끈이 잘렸다. 이제 B 는 왼쪽으로 가속된다. 따라서 B 는 속력이 슬슬슬 줄어드는 운동을 하다가 r 에서 멈췄다. 다음 그림은 p, q, r 을 지나는 동안 B 의 속력을 그래프로 그린 것이다.

이제 B 입장에서 생각해 볼 것이다. B 는 최초 멈춰 있었다. 그러다가 등가속도 운동을 해서 q 지점까지 이동했다. 그러다가 가속도가 (-)인 등가속도 운동을 해서 r에서 멈췄다. 그런데 중요한 단서가 p~q 구간의 이동 거리가 2L, q~r 구간의 이동 거리가 3L로 2:3 이다. 찜찜한 게 없는가? 왜 q 지점에서 B 의 속력이 "연속"이어야 하는가?

[물체의 속도 연속성] 이 명제는 얼핏 당연한 것 같지만, 곰곰 생각해보면 꼭 그래야 하는? 하는 생각도 든다. 직관적으로 생각해 보자. 물체의 속도가 갑자기 변하면 안될까? 될 것도 같다. 안될 것도 같고... 일단 뉴턴 역학에서는 안된다는 것이 결론이다. F = ma이고, 아시다시피 a 는 v 의 순간 변화도이다. v 가 순간적으로 변하려면 a 가 무한대가 되어야 한다. m 이 고정되어 있으므로 F 가 무한대가 되어야 한다. 즉, 뉴턱 역학에 따르면 속도가 순간적으로 변하려면 무한대의 힘이 가해져야 한다. 무한대의 힘은 없다.

이제 지금까지 얻어진 결론을 종합해 보자.

B 는 멈춘 상태에서 p 를 출발했다. q 까지 이동하는 동안 2L 만큼을 갔다. 그 때 속도가 v 였는데, B~C 사이의 줄이 끊기는 순간 힘의 방향이 바뀌어 (-1) 방향의 등가속도 운동을 하기 시작했다. 이 때 힘이 무한대가 아니었기에 q 에서 r 로 가기 시작하는 시점의 속력은 v 여야만 한다. 그리고 r 에 가서는 속력이 0 이 되어 멈췄다. 그 기간중 이동 거리가 3L이다. 시간 속도 그래프의 면적이 이동 거리에 해당하므로 p~q 사이의 이동 거리가 2L이며 q~r 사이의 이동 거리가 3L 이 되는 조건을 맞추는 방법은 p~q 사이의 시간과 q~r 사이의 시간이 2:3 이 되는 수밖에 없다. 시간 속도 그래프의 기울기가 가속도니까....

p~q 구간의 가속도와 q~r 구간의 가속도 비는 3:2 가 된다. 이걸로 문제를 풀 수 있을것 같다.

(가)와 (나)에 F=ma 를 적용할 것이다. 그리고 편의상 m 은 1로 하고 g 도 1로 두겠다. 생각해 보면 위의 시스템을 지구에 두던, 달에 두던 m 과 M 의 비율은 달라지지 않을 것이다. 그리고 M>1 이다.

(가) (M-1) = (1+2+M)a_pq

(나) 1 = (1+2)a_qr

a_pq : a_qr = 3:2

이 방정식을 풀면 답이 나올 것이다.

M = 5. 따라서 답은 4번이다.

[출처: 2026년 7월 모평/모의고사 고3 물리1 8번]

등가속도 운동의 1,3,5,7 법칙

eigenstory — Wed, 13 Aug 2025 23:40:50 +0900

2026 7월 고3 물리 18번

[문제]

그림과 같이 직선 도로에서 자동차 A가 기준선 P를 v₀의 속력으로 지나는 순간, 기준선 Q에 정지해 있던 자동차 B가 출발한다. A, B는 직선 도로와 나란하게 각각 등가속도 운동을 하여 기준선 R를 동시에 지나고, A가 Q, R를 지날 때의 속력은 각각 v_Q, v_R이다. A와 B의 가속도는 크기가 같고 방향은 서로 반대이다. P와 Q, Q와 R 사이의 거리는 각각 2L, L이다.

[풀이]

문제를 참 어렵게도 써놨다. 짜증나는 건 변수가 많다는 것. 그런데 이걸 뒤집어 생각해 보면, 주어진 조건을 만족할 수 있는 답의 조합이 무한히 많다는 것이고. 그 모든 답의 조합에 대해 v_Q/v_R은 항상 어떤 상수일 것이라는 사실을 암시한다. 아니 시사한다. 만약 그 가정이 참이 아니라면 문제는 틀린 문제겠지.

이것을 역이용하면 변수의 값을 맘대로 임의로 정해도 답을 구할 수 있을 것이라는 사실이다.

그리고 문제를 한 두 번쯤 읽고 나니 문제의 차량 두 대가 어떻게 움직였을 지 대충 상상이 간다.

눈을 감고 상상해 보자. 빨간 차가 브레이크를 살살살살 밟으면서 P 지점을 지나치는 순간 멈춰 있던 노란 차가 Q 지점에서 가속을 시작하여 점점 빨라지면서 R을 지나는데 마침 그 순간 빨간 차도 R지점을 지난다. 빨간 차는 감속 중이니 곧 멈출 것이고 노란 차는 점점 빨라지고 있으니 결국은 노란 차가 더 앞으로 갈테지. 노란 차의 운전석 창문이 열리는 순간 빨간 차의 사내가 노란 차의 사내를 향해 소리친다. (아저씨 빨간불이잖아요...)

이 문제를 직관적으로 풀기 위해서는 두 가지 트릭을 알아야 한다.

등가속도 운동의 규칙성
시간의 화살

[등가속도 운동의 규칙성] 등가속도 운동은 시시각각 매우 복잡할 것 같지만, 사실 굉장한 일관성을 가지고 있다. 그것은 1,3,5,7,9의 법칙이라고 부르면 좋을 것이다. 잘 기억하자. 모든 등가속도 운동은 멈췄다가 일정 시간 t만큼 움직인 거리와 움직인 거리가 L이라면 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 3L, 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 5L, 그리고 그 다음 시간동안 움직인 거리는 7L이 된다. 물론 그 다음 다음 다음은 9, 11, 13... 이렇게 된다.

가운데 그림은 t가 좀 작아졌다. 하지만 삼각형 1개, 3개, 5개의 규칙은 여전히 만족한다.

1,3,5,7에 대해서는 일단 이정도만 해 두고 시간의 화살 이야기를 좀 해보자.

[시간의 화살] 위키피디아에 따르면 시간의 화살이란 1927년 영국의 천체물리학자 아서 에딩턴이 개발한 개념라고 한다. 아주 간단히 요약하면 열역학 제2법칙 엔트로피를 제외한 모든 법칙들은 시간을 앞으로 돌리든 뒤로 돌리든 항상 옳다 라는 말이다. 아직 완벽하게 증명된 문제는 아니지만, 여전히 수능 수준의 문제를 다룰 때에는 옳다고 생각해 버려도 무방할 것이다. 시간의 화살을 등가속도 운동에 적용해 보자. 누군가가 T₀에 하늘로 대포를 쏜다. 대포알은 최초 매우 빠른 속력으로 하늘로 솟아 오른다. 속도는 점점 줄어들어 시간 T₁에 공중에서 멈추었다. 그리고 다시 떨어졌다. T₀~T₁ 사이를 동영상으로 촬영했고, 이 영상을 거꾸로 재생해 보자. T₁에서 하늘에 멈춰 있던 대포알이 점차 가속되어 T₀ 시점에 대포 속으로 쏙 들어간다. 이 영상을 거꾸로 돌리는 동안 관측된 포탄의 움직임은 등가속도에 대한 물리 법칙을 준수한다. 이게 시간의 화살이다.

이제 다시 문제 풀이로 돌아가야 한다. 우리는 시간의 화살과 등가속도 운동의 1,3,5,7 법칙을 이용해서 이 문제를 풀어 볼 것이다.

빨간 차가 P에서 R로 이동한 소요 시간과 노란 차가 Q에서 R로 이동한 소요 시간은 같다.

다만 빨간 차가 이동한 거리는 3L, 노란 차가 이동한 거리는 L이다. 1,3,5,7 에서 1,3에 딱 걸린다. 왜 그럴까? 물리 선생님들도 1,3,5,7을 알고 계신가 보다. 내가 입시를 보던 시절에도 물리 문제에는 항상 1,3,5,7이 여기 저기 숨어 있었다.

그림은 빨간 차와 노란 차의 이동 관련 지금까지 확인된 모든 정보를 1,3,5,7 그래프에 표시한 것이다.

빨간 차가 P 지점을 4m/s로 달리다가 Q를 지나 R로 갔는데 그 때 속도가 2m/s 였다. 그 동안 이동 거리는 3m였다.

노란 차가 Q지점에서 정지해 있다가 출발해서 R로 갔는데 가속도가 2m/s² 이라서 R에서 2m/s 였고 총 이동 거리는 1m였다.

[속도를 왜 맘대로 정하는가?] 라고 묻는다면, 고전 역학에서 다루는 대부분의 문제들이 수학적으로 linear system이기 때문이라고 간단히 답을 하겠다. 대충 어떤 느낌이냐 하면 복잡한 전기 회로가 있는데 거기 1.5V 배터리를 하나 연결해서 회로 전체를 해석했고, 이 때 특정 소자 X를 흐르는 전류가 1A 였다고 하자. 이 회로에 대해 배터리를 1.5V에서 15V로 교체하면 X를 흐르는 전류는 계산할 필요도 없이 10A가 된다는 것이다. 뭐 이런 느낌이다. 다시 문제를 풀자.

그런데 답을 알기 위해서는 Q에서 빨간 차의 속도를 알아야 한다. 그래프 기준으로는 Q에서 파란 그래프의 높이를 알면 되는데. 구체적으로는 아래 그래프에서 초록색 빗금친 면적과 노란색 빗금친 면적의 비가 1:2 가 되는 지점을 찾으면 되는 것이다. 이제 간단한 수학 문제가 되었다. 암산으로 Q=√2면 된다. 파란 그래프의 높이는 순간 속력이었다는 사실을 기억하자.

이제 v_Q/v_R를 구할 수 있을 것 같다.

v_Q= 2√2 m/s

v_R = 2 m/s

답은 √2

그러니까 정답은 2번이다.

[출처: 2026년 7월 모평/모의고사 고3 물리1 18번]