실이 끊어지는 불량 도르래

2026 7월 고3 물리 8번

<문제>

그림 (가)와 같이 질량이  m, 2m, M 인 물체 A, B, C 를 실로 연결하고 B 를 점 p에 가만히 놓았더니 A, B, C 는 등가속도 운동을 한다. 그림 (나)와 같이 (가)에서 B 가 점 q 를 지나는 순간 B 와 C 를 연결한 실이 끊어진 후, A 와 B 는 등가속도 운동을 하여 점 r 에서 B 의 속력은 0 이 된다. p, q, r 는 수평면상의 점이고, p와 q, q 와 r 사이의 거리는 각각 2L, 3L 이다. M은? (단, 물체의 크기, 실의 질량, 모든 마찰과 공기 저항은 무시한다.)
<선택지>

① 2m   ② 3m   ③ 4m   ④ 5m   ⑤ 6m

 

 

[풀이]

하나 이상의 질량이 끈으로 묶여 운동하는데 중간에 실이 끊어지는 문제다. 이런 문제는 F = ma 공식으로 대부분 풀 수 있다. 다만 물체와 실의 연결관계 등을 고려해 F를 구성하는 게 뭐고 m을 구성하는 게 뭔지를 센스 있게 정해야 한다. 연습 삼아 다음 그림을 보자.

위 그림에 F=ma 를 적용해 볼 것이다.

다만 그 전에 우리의 직관을 시험하자. 왼쪽, 오른쪽 두 개의 그림 모두 A 가 C 보다 무겁다. 따라서 직관적으로 A 는 낙하하고, C 는 상승할 것이다. 또하나 운동 속도 관련해서는 왠지 가벼운 우유가 매달려 있는 좌측의 시스템이, 무거운 세탁기가 물려 있는 오른쪽 시스템보다 운동 속도가 더 빠를 것 같다. 훌륭한 직관이다. 다만 이걸로 문제를 풀기에는 아직 부족한듯 하다. 다음 그림을 보자.

앞서 도르래, 끈 등등이 연결된 그림보다 훨씬 단순한 것을 느끼나? 다만 가운데 놓여 있는 물체 B(우유 또는 세탁기)의 수평 방향 운동에 있어서 앞서의 도르래 및 끈이 연결된 그림과 지금의 새 그림을 비교해 보라. 새 그림이 훨씬 단순하다는 것을 느낄 수 있다. 이제 그림을 조금 더 단순화 시켜 보겠다.

이제 마음에 드는가? 여기에 F = ma를 적용해 보겠다.

[왼쪽그림]

   F = 1N

   m = 2+1+1 = 4kg

   a(우유) = 1 / 4 = 0.25 m/s²

 

[오른쪽 그림]

   F = 1N

   m = 2+97+1 = 100kg

   a(세탁기) = 1 / 100 = 0.01m/s²

 

우유가 세탁기보다 훨씬 빨리 가속된다는 것을 우리는 직관으로 알았고, 정량적으로도 예측할 수 있다.

다만 매번 이런 식으로 그림을 다시 그리는 것은 수험생 처지에서 바람직하지 않다. 시험 문제를 시간 내 풀기 위해서는 다음 그림을 보고 F=ma 를 만드는 연습을 해야 할 것이다.

 

[왼쪽 그림의 F=ma] (2-1)g = (2+1+1)a_우유팩

[우측 그림의 F=ma] (2-1)g = (2+97+1)a_세탁기

 

이제 연습은 끝났다. 문제를 풀어 보자.

 

이제부터는 A, B, C 에 무슨 일이 일어났는 지 상상할 차례다. 

(가) 그림은 초기 상태를 나타낸다. B 를 손으로 꼭 누른 상태에서 A, B, C 를 끈으로 연결하고 손을 놨다. A, B, C 는 끈으로 묶여 있으므로 모두 같은 순간 속력으로 슬슬슬 이동하기 시작할 것이다. 등가속도 운동을 할것이다 B 가 q 지점을 지나는 순간까지...

그리고 하나 더, B가 p에서 q로 갔다는 것은 M 이 m 보다 무겁다는 것을 시사한다.

그러다가 B가 q지점을 지나는 순간 B-C 사이의 끈이 잘렸다. 이제 B 는 왼쪽으로 가속된다. 따라서 B 는 속력이 슬슬슬 줄어드는 운동을 하다가 r 에서 멈췄다. 다음 그림은 p, q, r 을 지나는 동안 B 의 속력을 그래프로 그린 것이다.

이제 B 입장에서 생각해 볼 것이다. B 는 최초 멈춰 있었다. 그러다가 등가속도 운동을 해서 q 지점까지 이동했다. 그러다가 가속도가 (-)인 등가속도 운동을 해서 r에서 멈췄다. 그런데 중요한 단서가 p~q 구간의 이동 거리가 2L, q~r 구간의 이동 거리가 3L로 2:3 이다. 찜찜한 게 없는가? 왜 q 지점에서 B 의 속력이 "연속"이어야 하는가?

[물체의 속도 연속성] 이 명제는 얼핏 당연한 것 같지만, 곰곰 생각해보면 꼭 그래야 하는? 하는 생각도 든다. 직관적으로 생각해 보자. 물체의 속도가 갑자기 변하면 안될까? 될 것도 같다. 안될 것도 같고... 일단 뉴턴 역학에서는 안된다는 것이 결론이다. F = ma이고, 아시다시피 a 는 v 의 순간 변화도이다. v 가 순간적으로 변하려면 a 가 무한대가 되어야 한다. m 이 고정되어 있으므로 F 가 무한대가 되어야 한다. 즉, 뉴턱 역학에 따르면 속도가 순간적으로 변하려면 무한대의 힘이 가해져야 한다. 무한대의 힘은 없다.

 

이제 지금까지 얻어진 결론을 종합해 보자.

B 는 멈춘 상태에서 p 를 출발했다. q 까지 이동하는 동안 2L 만큼을 갔다. 그 때 속도가 v 였는데, B~C 사이의 줄이 끊기는 순간 힘의 방향이 바뀌어 (-1) 방향의 등가속도 운동을 하기 시작했다. 이 때 힘이 무한대가 아니었기에 q 에서 r 로 가기 시작하는 시점의 속력은 v 여야만 한다. 그리고 r 에 가서는 속력이 0 이 되어 멈췄다. 그 기간중 이동 거리가 3L이다. 시간 속도 그래프의 면적이 이동 거리에 해당하므로 p~q 사이의 이동 거리가 2L이며 q~r 사이의 이동 거리가 3L 이 되는 조건을 맞추는 방법은 p~q 사이의 시간과 q~r 사이의 시간이 2:3 이 되는 수밖에 없다. 시간 속도 그래프의 기울기가 가속도니까....

p~q 구간의 가속도와 q~r 구간의 가속도 비는 3:2 가 된다. 이걸로 문제를 풀 수 있을것 같다.

(가)와 (나)에 F=ma 를 적용할 것이다. 그리고 편의상 m 은 1로 하고 g 도 1로 두겠다. 생각해 보면 위의 시스템을 지구에 두던, 달에 두던 m 과 M 의 비율은 달라지지 않을 것이다. 그리고 M>1 이다.

   (가) (M-1) = (1+2+M)a_pq

   (나) 1 = (1+2)a_qr

   a_pq : a_qr = 3:2

 

이 방정식을 풀면 답이 나올 것이다.

M = 5. 따라서 답은 4번이다.

[출처: 2026년 7월 모평/모의고사 고3 물리1 8번]