동일 거리 이동 시간 vs. 가속도 비례 관계

2026년 6월 고3 물리 16번

 

<문제>

그림과 같이 수평면에 놓인 질량이 M 인 수레 위에 추 A 와 B 중 하나를 올려놓고 다른 하나는 수레에 연결된 실에 매단다. 표는 출발선에 가만히 놓은 수레가 등가속도 직선 운동하여 기준선을 지날 때까지 걸린 시간 t 와 A의 역학적 에너지 변화량의 크기를 나타낸 것이다. A, B의 질량은 각각 m_A, m_B 이다. M/m_B 값은?  (단, 실의 질량, 모든 마찰과 공기 저항은 무시한다.)

<선택지>

[풀이]

도르래와 연결된 여러개의 질량들의 등가속도 운동 관련 문제가 나오면 F = ma를 떠올려야 한다.

물제를 풀기에 앞서 간단한 사고 실험을 해 볼 것이다. 다만 물체와 실의 연결관계 등을 고려해 F 를 구성하는 게 뭐고 m 을 구성하는 게 뭔지를 센스 있게 정해야 한다. 연습 삼아 다음 그림을 보자.

위 그림에 F = ma 를 적용해 볼 것이다.

다만 그 전에 우리의 직관을 시험하자. 왼쪽 그림에서 2kg 짜리 수레에 97kg 짜리 세탁기가 올라가 있는 것이 보이는가? 아주 튼튼하지만 질량이 0인 실이 도르레를 거쳐 1kg 짜리 우유팩에 연결되어 있다. 오른쪽 그림은 우유팩과 세탁기의 위치가 바뀐 것이 보인다. 어느 쪽이든 수레는 출발선을 지나 기준선까지 이동할 것이 명확하고, 또하나 이동하는 속도는 오른쪽이 훨씬 빠를 것 같지 않은가? 훌륭한 직관이다. 다만 이걸로 문제를 해결하게에는 2%가 부족하다.

다음 그림을 보자.

앞서 도르래, 끈 등등이 연결된 그림보다 훨씬 단순한 것을 느끼나? 다만 가운데 놓여 있는 물체 B(우유 또는 세탁기)의 수평 방향 운동에 있어서 앞서의 도르래 및 끈이 연결된 그림과 지금의 새 그림을 비교해 보라. 새 그림이 훨씬 단순하다는 것을 느낄 수 있다. 이제 마음에 드는가? 여기에 F = ma를 적용해 보겠다.

[왼쪽그림]

   F = 10N

   m = (97+2+1) = 100kg

   a = 0.1m/s²

[오른쪽그림]

   F = 970N

   m = 100kg

   a = 9.7m/s²

결과적으로 우리는 직관에 물리학을 더해 주어진 시스템의 움직임을 정량적으로 예측할 수 있게 되었다. 또 한 가지, 세탁기와 우유팩을 바꿔 달면서 실험을 했더니 양쪽 등가속도 운동의 가속도가 도르레 옆에 달리는 물체의 질량에 비례한다는 것도 덤으로 알게 되었다. 이 사실은 나중에 문제 풀이에 활용될 것이다. 그리고 또 하나, 매번 이런 식으로 그림을 다시 그리는 것은 수험생 처지에서 바람직하지 않다. 시험 문제를 시간 내 풀기 위해서는 다음 그림을 보고 F = ma 를 바로 만드는 연습을 해야 할 것이다.

이제 연습은 끝났다. 문제를 풀어 보자.

표에서 t 항목을 보니, 출발선에서 수평선 사이의 거리를 등가속도 운동으로 이동하는 동안 B를 매달았을 때와 A를 매달았을 때의 시간 비율이 1:3 이었다고 한다. 아래 그림은 두 개의 등가속도 운동이 같은 거리를 이동하는 데 시간을 1:3 으로 사용한 경우의 시간, 속도 그래프이다.

같은 거리를 이동했으므로 두 삼각형의 면적은 같다.

시간의 비율이 1:3 이므로 삼각형의 밑면 길이 비가 1:3 이다.

다만 가로축 길이가 3배가 되면서도 동일 면적을 유지해야 하니 높이 또한 1/3이 된 것에 주목하자.

빠른 운동은 t₀ 만큼의 시간이 걸렸고 가속도가 1/1 해서 1.

느린 운동은 3 t₀ 만큼의 시간이 걸렸고 가속도는 0.333/3 해서 1/9 이다.

앞서 이 시스템에서 가속도의 비는 실에 매단 추의 질량 비와 일치한다고 했으므로 m_A와 m_B의 비율은 9:1 또는 1:9 일텐데. 표를 보아 B가 더 무거운 것이 확실하므로 m_A:m_B = 1:9 임을 알 수 있다. 

 

이쯤에서 슬슬 문제를 하나씩 풀어 보자. 계산을 통해 구해야 하는 값은 M/m_B 값이다.

순간 짜증이 밀려오기 시작한다. 또 비율이라니...

그런데, 이 말은 즉 주어진 조건을 만족하는 답이 하나가 아니고 여러개인데 답이 여러개라 해도 M/m_B의 비율은 항상 같다는 말로 해석 가능하다. 어? 이거 고마운 건가?

그렇다. 이 문제에 한해 우리는 m_A와 m_B를 그냥 1kg, 9kg 으로 두고 풀어도 된다.

또하나, 문제에서 출발선과 기준선 사이의 거리에 대한 언급이 없다. 이 말을 뒤집으면 출발선과 기준선 사이의 거리가 변해도 주어진 조건을 만족한다면 B와 수레의 질량비는 일정할 것이라는 뜻이 된다. 나는 1을 좋아하니까 출발선~기준선 사이의 거리도 1m로 정하고 풀이를 진행하겠다. 마지막으로 중력 가속도 또한 내친 김에 1m/s²으로 하자. 고전역학 문제에서 특이 이번 문제처럼 질량을 질량으로 나눈 값(단위 또는 dimension이 없는 값)을 구하는 문제에 있어서 주요 변수의 무차원화는 풀이 과정을 단순화 하는 효과가 있다. 무차원화를 덜하는 것은 무해하다. 다만 계산 식에 변수가 많아 풀이 과정에 손이 많이 가는 문제가 있다. 무차원화를 과도하게 하는 것은 위험하다. 답이 사라질 수 있다. 문제를 잘 보고 어떤 것을 무차원화할 수 있고 어떤 것은 하면 안되는 지 잘 판단하는 스킬을 익힐 필요가 있다.

이제 [실험-1]에서 A의 역학적 에너지 변화량을 고찰해 보자. A는 정지했다가 등가속도 운동을 해서 1m를 이동하며, 수평 운동을 하므로 위치 에너지 변화 없이 운동 에너지만 증가한다. 따라서 A의 최종 운동 에너지가 A의 역학적 에너지 변화량과 같다. A의 최종 운동에너지를 구해 보자.

   최종 운동에너지 = A가 받은 힘 × 이동 거리

   A가 받은 힘 = A의 가속도 × 1kg

   A의 가속도 = A,B,C 전체 계의 가속도

   F = m_{B ×} g = 9 = ma = (1+9+M) × A의 가속도

   최종 운동 에너지 = 9/(M+10)

   A의 역학적 에너지 변화량(실험1) = 9/(M+10)

[실험-2]는 조금 복잡하다. 여기서 A는 추의 역할을 한다. A의 위치에너지가 감소하는 에너지로 A, B 및 수레가 가속된다. A의 위치 에너지 감소량을 A, B, 수레가 질량 비에 따라 운동에너지로 나눠 먹는 구조다. 따라서 A의 역학적 에너지 변화량은 다음과 같다.

  A의 역학적 에너지 변화량 = A의 위치에너지 감소량 - A의 최종 운동에너지

  A의 역학적 에너지 변화량(실험2) = 1 × 1 × 1 - 1/(M+10) = 1 - 1/(M+10) = (M+9)/(M+10)

   (운동에너지는 질량이 같다면 속도의 제곱에 비례. 앞서 실험 1의 최종 속도가 실험2의 최종 속도보다 3배 빠르다고 했다.)

 

이제 문제의 마지막 조건인 실험간 A의 역학적 에너지 변화량 비 9:11을 적용할 차례이다.

   9:11 = 9/(M+10) : (M+9)/(M+10)

   9:11 = 9:M+9

   99 = 9M+81

   9M = 18

   M=2

   M/m_B = 2/9

   따라서 답은 2번이다.

 

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 16번]