일정한 힘이 가해지는 마찰구간?

문세 설명

<문제>

9. 그림 (가)와 같이 수평면에서 물체 A 는 4v 의 속력으로 운동하다가 마찰 구간을 지나 등속도 운동하고, 물체 B 는 v 의 속력으로 A 를 향해 운동한다. 그림 (나)와 같이 A 와 B 가 충돌한 후, A 는 충돌 전과 반대 방향으로 v 의 속력으로 운동하다가 마찰 구간에서 정지하고, B 는 충돌 전과 반대 방향으로 v 의 속력으로 운동한다. 마찰 구간에서 A 는 운동 방향과 반대 방향으로 같은 크기의 일정한 힘을 받고, 마찰 구간에서 A 가 운동하는 데 걸린 시간은 (가)에서가 (나)에서의 2배이다. A, B 의 질량을 각각 m_A , m_B 라 할 때, m_A/m_B 는?

 

[풀이]

이번 문제에서 사용된 독특한 표현이 있다. "마찰 구간에서 운동 방향과 반대 방향으로 같은 크기의 일정한 힘을 받는다." 

이 표현은 수험생을 함정에 빠트리기 위한 트릭이 사용되었다. 그냥 언덕이라고 하면 될텐데 굳이 마찰구간이란 단어를 선택함으로써 혼란을 유도한 것이다. 물체가 언덕을 올라가는 동안 일정한 크기의 힘을 받는다. F = ma 를 기억하자. 초기 속도와 매 순간 가속도를 알면 우리는 물체의 운동을 매 순간 예측할 수 있다. 그곳이 마찰 구간이든 언덕이든 F = ma는 구분하지 않는다.

 

다음 그림을 보자.

첫 번째 마찰 구간은 다음과 같이 표현할 수 있다.

   초기 속도 = 4v

   소요 시간 = 2T

   가속도 = -a

 

한편 두 번째 마찰 구간은 다음과 같다.

   초기 속도 = v

   소요 시간 = T

   가속도 = -a

 

[무차원화]  이제는 무차원화를 결정해야 한다. 이 문제에서 질량이든 초기 속도든 시간이든 뭐든 절대 량으로 주어진 것은 하나도 없다. 따라서 일부 값들을 임의의 편리한 값으로 정하고 시작하는 것이 여러 모로 좋을 것이다. 다음은 무차원화 적용 결과이다.

   첫 번째 마찰 구간: 초기 속도 = 4m/s, 소요 시간 = 2초, 가속도 = -1m/s^2

   두 번째 마찰 구간: 초기 속도 = 1m/s, 소요 시간 = 1초, 가속도 = -1m/s^2

 

다음으로 등가속도 운동의 1,3,5,7 규칙을 살펴 보자.

[등가속도 운동의 규칙성] 등가속도 운동은 시시각각 매우 복잡할 것 같지만, 사실 굉장한 일관성을 가지고 있다. 그것은 1,3,5,7,9의 법칙이라고 부르면 좋을 것이다. 잘 기억하자. 모든 등가속도 운동은 멈췄다가 일정 시간 t 만큼 움직인 거리와 움직인 거리가 L이라면 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 3L, 그 다음 t 시간동안 움직인 거리는 5L, 그리고 그 다음 시간동안 움직인 거리는 7L이 된다. 물론 그 다음 다음 다음은 9, 11, 13... 이렇게 된다.

그림에서 가로축은 시간, 세로축은 속도이다. 등가속도 운동이니 속도가 시간에 비례해서 직선의 형태로 증가하고 있다. 각 그림에서 빨간 선들은 간격이 동일하다. 즉 등가속도 운동을 동일한 시간 t 간격으로 잘라서 본 것이다. 빨간 선으로 잘리는 파란 도형의 면적은 이동 거리이다.

좌측 그림은 t가 좀 크다. 그런데 첫 번째 구간의 이동 거리(=면적)은 삼각형 1개. 두 번째 구간의 이동거리(=면적)은 삼각형 3개... 1,3,5,7 규칙을 잘 따르고 있는 것을 알 수 있다.

가운데 그림은 t가 좀 작아졌다. 하지만 삼각형 1개, 3개, 5개의 규칙은 여전히 만족한다.

오른쪽 그림은 삼각형이 찌그러졌다. 눈치 챘겠지만 그림에서 삼각형의 기울기는 가속도의 크기를 나타낸다. 이렇게 가속도가 달라졌지만 첫 번째 구간의 이동 거리는 삼각형 하나, 두 번째 구간의 이동 거리는 삼각형 3개, 5개, 7개... 의 1,3,5,7 규칙이 아주 잘 지켜지고 있는 것을 알 수 있다.

 

이제는 등가속도 운동의 1,3,5,7 규칙과 이 문제를 연관시켜 보도록 하자.

그림은 시간/속도 그래프이다. 가로 세로축 단위가 각각 1이므로 가속도는 -1이 된다.

물체 A가 처음 언덕을 올라가는 구간의 초기 속도가 4, 시간이 2초니까 , 그림에서 "2 sec." 구간의 면적을 통해 이동 거리가 6m임을 바로 확인할 수 있다.

물체 A가 두번 째 언덕에서 이동한 거리는 그림의 "1 sec." 구간 면적을 읽으면 0.5m임이 바로 확인된다.

다만 이동 거리는 사실 답을 찾는 데 도움은 안된다.

답을 찾기 위해서는 "2 sec." 구간의 종료 시점에서 A의 속도가 2m/s 라는 사실이다. 즉 A는 언덕을 오르자 마자 B와 충돌하기 직전에 속도가 2v 였는데, 충돌 직후 -v가 되었다고 했다. 즉, 우리는 A 와 B가 충돌하기 전 속도와 충돌 직후의 속도를 모두 알게  되었다.

 

운동량 보존의 법칙을 적용해 보자.

   충돌전 total 운동량 = 2m_A - m_B

   충돌 후 total 운동량 = -m_A + m_B

 

계산 하면,

  2m_A - m_B = -m_A + m_B

  3m_A = 2m_B

  m_A / m_B = 2/3

 

따라서 답은 2번이다.

선택지

[해설]

 

[출처: 2026년 5월 모평/모의고사 고3 물리1 9번]