물리 20번을 눈으로 풀어보자

2026년 6월 고3 물리 20번

 

<문제> 그림과 같이 높이가 h₁인 평면에서 질량이 각각 3m, 2m인 물체 A, B 로 용수철 P를 원래 길이에서 d 만큼 압축시킨 후 가만히 놓는다.  A는 마찰 구간 I 을 지나 수평면에서 용수철 Q를 원래 길이에서 최대 d 만큼 압축시킨다.  B는 P와 분리된 직후의 속력이 v₀ 이고 마찰 구간 II 를 지나 높이가 h₂ 인 평면에서 v₀ 의 속력으로 운동한다.  I,  II 를 한 번 지날 때 각각 손실되는 A, B의 역학적 에너지는 P와 분리된 직후 A의 운동 에너지와 같고,  P와 Q의 용수철 상수는 같다. 

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?  (단,  물체는 동일 연직면상에서 운동하고,  용수철의 질량과 물체의 크기,  공기 저항,  마찰 구간 외의 모든 마찰은 무시한다.)

<선택지>
① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄱ,ㄷ  ④ ㄴ,ㄷ  ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ
 
[풀이]
이 문제는 킬러처럼 생겼지만 킬러 문항은 아니고 초기 조건을 이용해서 순차적으로 풀어나갈 수 있는 문제이다.
그런데 t₀ 에서 일어나는 일을 정확히 해석하는 것이 약간 까다롭다. 멈춰 있던 질량이 서로 다른 두 물체를 가운데 끼어 있던 용수철이 밀어내는 상황이다. 이 상황을 어떻게 해석할 것인가?
[정령] 용수철이 좀 따끔거리고 뾰족한 물체긴 해도 이 문제에서는 보이지 않고 만져지지도 않는 정령이라고 생각하자. 그래야 생각이 편하다. 이 정령이 A와 B 를 중간에서 민다. 정령은 질량이 없다. 다만 힘만이 존재한다. 밖에서 이를 관측하는 사람 입장에서는 A가 B 를 밀고 B 가 A를 미는 상황이다. 텅 빈 우주 공간에서 우주인이 거대한 금속 물체를 밀어내고 있다. 금속 물체는 한 눈으로 보기에도 우주인보다 압도적으로 무겁다. 따라서 밀려나는 것은 우주인일 것이다. 만약 우주인이 금속 물체와 똑같은 무게라면 양쪽이 똑같은 속도로 밀려날 테지만... 여기까지는 직관의 영역이다. 이러한 상황을 어떻게 하면 정량화할 수 있을까? 이게 이 문제를 풀 수 있느냐 없느냐의 갈림길이다.

우주선을 밀어내는 우주비행사 [GPT 생성]

[정량] 운동량의 보존으로 풀어도 되고 작용 반작용으로 풀어도 될 것 같다. 나는 언제나 F = ma 를 선호하므로 작용 반작용으로 풀어 보겠다. 작용 반작용을 적용해 보자. 상상력이 좀 필요하다. 우선, 오직 용수철이 A/B 양쪽에 동시에 닿아 있는 동안 A 는 B 를 밀 수 있고, B 도 A를 밀 수 있다. 용수철이 A/B 에 동시에 닿아 있는 모든 순간에 A 가 B 를 미는 힘과 B 가 A 를 미는 힘은 동일하다. 그리고 그 힘에 의해 발생하는 가속도의 비율은 질량에 반비례하므로 모든 순간 작용 반작용력에 의해 A 에 가해지는 가속도와 B 에 가해지는 가속도의 비는 2:3 이 된다. 모든 순간의 가속도 비가 2:3 이면 모든 순간의 속도 비도 2:3 이 되고 모든 순간의 변위 또한 2:3 이 될 것인데 사실 변위 비는 문제 풀이에 별로 중요하지 않다. 여기서 줏어갈 결론은 다음과 같다.
   v_A : v_B = 2 : 3 --> 초기 용수철에 의해 A와 B가 밀려나가는 순간 각각의 속도
 
[무차원화]  이제는 무차원화를 결정해야 한다. 이 문제에서 질량이든 초기 속도든 높이든 뭐든 절대 량으로 주어진 것은 하나도 없다. 따라서 일부 값들을 임의의 편리한 값으로 정하고 시작하는 것이 여러 모로 좋을 것이다.
 
일단 두 물체의 초기 속도를 다음과 같이 정하자.
   v_A = 2m/s
   v_B = 3m/s
 
그리고 질량은 3:2로 주어졌으니 각각 다음과 같이 정하는 게 좋겠다. 3kg, 2kg 대신 30kg, 20kg 으로 했는 지는 나중에 설명하겠다.
   m_A = 30kg
   m_B = 20kg
 
이제 최초의 운동 에너지를 정할 차례다.
   E_A0 = 0.5 x 30 × 4 = 60J
   E_B0 = 0.5 x 20 × 9 = 90J
   E₀ = E_A0 + E_B0 = 150J

물체 A 는 비탈을 내려와 용수철을 d 만큼 수축시킨 뒤 멈췄다. 멈춘 순간 물체 A가 갖고 있던 모든  운동 에너지는 용수철에 축적되었다. 문제에 등장하는 모든 용수철은 동일하다고 했다. 다시 최초의 빅뱅(?) 시점으로 가보자. 두 물체 A, B는 멈춰 있었고 모든 에너지는 용수철에 축적되어 있었다. 그게 A 와 B 의 운동 에너지로 무손실 변환되어 토탈 150J 이었다. 그렇다면 A 가 언덕을 내려와 언덕 아래 용수철에 축적한 에너지도 150J 이 되어야 한다. 같은 용수철을 똑같이 d 만큼 수축시켰다면 그 속에 축적된 에너지는 같아야만 한다.

   E_S = 150J

[단서-1] B 가 A 와 분리된 직후 속도가 v₀(=v_B = 3m/s) 였고, 마찰 구간을 지나 높이가 h₂ 인 평면에서 v₀(=v_B = 3m/s) 의 등속 운동을 한다...
B 는 최초 90J 의 운동 에너지를 갖고 있었는데, 언덕을 내려온 후에도 90J 의 운동 에너지를 갖고 있을 뿐이다. 즉 B 가 언덕을 내려오면서 소모한 위치에너지는 마찰 구간이 다 먹어버렸다고 봐야 한다.
[단서-2] 마찰 구간 I, II 를 지날 때 손실되는 역학적 에너지는 P 와 분리된 직후 A 의 운동에너지 (=E_A0 = 60J) 와 같다.
[마무리] 이제 지금껏 모은 모든 조각 지식들을 모아 보기 내용의 진위를 따질 시간이다.

먼저 (ㄱ)을 보자.
P 와 분리된 직후 A 의 속력은 2ms 인데, 이는 0.666 × (v_B = 3m/s) 와 같다. 참이다.

다음 (ㄴ)을 보자.
용수철 상수를 구해야 한다.

우리는 모든 위치에서 에너지를 구한 바 있다. 따라서 용수철 상수와 에너지의 관계식을 이용해야 한다.
용수철 상수 k 에 대해 용수철에 축적된 에너지는 다음 식으로 정의된다.
   E_S = 0.5 kd² 
A 가 언덕을 내려왔을 때 용수철에 축적된 에너지가 150J 이라고 했었다.
따라서,

   2 E_S = k d²

   300 / d² = k (=용수철 상수)
이제 10 × m × v₀² 이 300 인 지 확인하자.
   10 × 10 × 9 = 900 ≠ 300
따라서 (ㄴ)은 참이 아니다.

앞서 m_A 와 m_B 를 3kg, 2kg 대신 30kg, 20kg 로 한 이유를 설명하지 않고 넘어갔는데.

만약 3kg, 2kg 로 했다면 위 수식에서 m 이 1 이 되었을 것이다. 따라서 수자만으로 m 의 영향이 있는 건지 없는 건지 판별하기 어려웠을 것이다. 보통은 무차원화를 통해 대부분의 비례 문제를 풀 수 있지만, 이번 문제처럼 수식을 판정해야 하는 경우, 상수화 당하는 각각의 변수가 서로 소일 경우 도움이 될 것임을 알 수 있다. 원래 속도에 2 와 3 이 있었는데, 질량에는 10 을 곱해서 인수 5 를 추가한 것이다. 이것 또한 요령인 것 같다.

마지막으로 (ㄷ)을 보자.
h₁ 과 h₂ 를 둘 다 구해야 한다.
아참, 중력 가속도를 1 로 하는 것을 깜빡 했다. 우리가 알아야 하는 것은 h₁ 과 h₂ 의 비율이지 h₁, h₂ 의 참값이 아니다. 따라서 중력 가속도를 1 로 두나 9.8 로 두나 결과는 같다.

A 의 여행을 따라가 보자. 최초 A 의 운동에너지는 60J 이었다. 마찰 구간을 지난 때 에너지 손실이 60J 이라고 했다. 그런데 지면에서 A 가 용수철을 만나기 직전 갖고 있던 모든 에너지가 용수철에 흡수되었다고 했는데 그 크기가 150J 이라고 했으니. 결국 이 150J 은 전부 h₁ 의 위치 에너지에서 온 것이다. 따라서...
   m_A × g × h₁ = 30 × h₁ = 150J
   h₁ = 5m
다음으로 B 의 여행을 따라가 보자.
B는 최초 90J 의 운동 에너지를 갖고 있었다. 그런데 나중에 h₂ 높이에서도 90J 의 운동 에너지를 갖고 있는 것으로 보인다. 따라서 h₁ - h₂ 만큼의 낙차를 가진 낙하 운동을 하는 동안 얻은 위치 에너지를 전부 마찰구간에 빼앗겼다는 의미이다. 따라서...
   m_B × g × (h₁ - h₂) = 60J
   20 × 1 × (5 - h₂) = 60
   5 - h₂ = 3
   h₂ = 2m
 
h₂ / h₁ = 2/5 이지 1/3 이 아니다. (ㄷ)도 거짓. 
따라서 정답은 1번이다.

 

[출처: 2026년 6월 모평/모의고사 고3 물리1 20번]